TRIGONOMETRIA

Teoria trigonometria

· Els triangles rectangles.

· Característiques pròpies dels triangles rectangles:
- Un dels angles sempre és recte, és a dir, que mesura 90º, per tant, la suma dels altres dos angles sumarà 90º, per complir la llei que diu que la suma de tots els angles d'un triangle ha de ser de 180º.

- Les longituds dels costats estan relacionades mitjançant el teorema de Pitàgores:

- Per calcular l'àrea podem agafar indistintament qualsevol dels catets per la base i per a l'altura.

· Semblança entre triangles rectangles:
- Dos triangles rectangles són semblants si tenen igual un dels seus angles aguts, en aquest cas és B, i al tenir els dos un angle recte (A = A'), l'angle C també és igual.

- Dos triangles rectangles són semblants si tenen dos parells de costats proporcionals

En aquest cas, si dividim els costats proporcionals ens donarà la raó de semblança ( un nombre que ens sortirà al dividir qualssevol costats proporcionals), i ens servirà precisament per veure que efectivament els costats són proporcionals i, per tant, els triangles són semblants.

" Resolució de triangles rectangles.
Resoldre un triangle rectangle significa determinar-ne la mesura dels costats i dels angles. Un triangle rectangle queda resolt quan coneixem dos del costats.

Per resoldre aquest triangle utilitzem teorema de Pitàgores.

" Triangles rectangles amb angles aguts que mesuren 30º, 60º o 45º.
Tenim una avantatja si el triangle rectangle que volem resoldre té un angle agut de 30º, 60º o 45º, i no caldrà recórrer a cap instrument de mesura. Només cal basar-se en las semblança entre triangles rectangles i conèixer un dels seus costats.
- Angles de 30º i 60º:

Si en un triangle equilàter tracem una altura h, obtenim dos triangles rectangles iguals amb els angles de 30º i 60º. El important que hem de saber és que en aquests triangles, la hipotenusa mesura l, llavors per determinar els dos altres catets hem de dividir-lo entre dos o multiplicar-lo per l'arrel de tres i dividir-la entre 2

.

" Relació entre angles i costats: La trigonometria.
No tots els triangles rectangles tenen angles de 30º, 60º o 45º, per això hem de buscar un mètode per resoldre tot tipus de triangles. Però primer ho farem observant els següents triangles:

1. Angle 30º

2. Angle 60º

3. Angle 45º

Amb aquestes fórmules podràs calcular i resoldre tot tipus de triangles rectangles, només hauràs de substituir les mesures de catets, hipotenusa i angles per les corresponents al triangle que vulguis calcular, a continuació ho podràs comprovar millor.

" Raons trigonomètriques d'un angle agut.

Dibuixem un angle agut de vèrtex el punt P i l'anomenem

Podem dibuixar un triangle rectangle un dels angles aguts del qual sigui igual a l'angle alfa. Ho podem fer considerant un punt R en un dels dos costats de l'angle i traçant, a partir d'aquest punt, un perpendicular a l'altre costat.

1.- Sinus d'un angle agut.
Anomenem sinus de l'angle alfa, i escrivim:

(la raó existent entre la longitud del catet oposat a l'angle i la longitud de la hipotenusa).

Si apliquem la definició de sinus de l'angle alfa a cadascun dels triangles rectangles, tenim:

Calculem tot seguit el valor de sin alfai el de sin beta en el triangle rectangle de la figura.

Determinem primer la longitud x de la hipoenusa del triangle i apliquem després la definició de la raó trigonomètrica sinus a cadascun dels dos angles aguts:

2.-Cosinus d'un angle agut

Procedim com en el cas anterior i construïm un triangle rectangle que rectangle que té un angle agut que anomenem alfa

Anomenem cosinus de l'angle alfa, i escrivim cos alfa, la raó entre la longitud del catet contigu a l'angle i la longitud de la hipotenusa.

Determinem cos alfa i cos beta en el triangle rectangle de la figura.

Si apliquem directament l definició de cosinus d'un angle, podem determinar el valor del cosinus de l'angle alfa:

Per calcular cos beta, cal conèixer el voler de x. El trobem aplicant el teorema de Pitàgores al triangle rectangle:

3.-Tangent d'un angle agut

Tangent de l'angle alfa, abreujadament tg alfa, és l raó entre la longitud del catet oposat a l'angle i la longitud del catet contigu

Calculem el valor de tg alfa i tg beta en el triangle rectangle de la figura.

Determinem primer el valor de x, aplicant el teorema de Pitàgores:

Si apliquem la definició de tangent d'un angle, tenim:

" Relació entre les raons trigonomètriques d'un mateix angle agut
En aquest apartat aprendràs a resoldre un triangle rectangle a partir del seu sinus, cosinus i tangent, sense saber les mesures del seus costats. Primer dibuixarem un angle i establirem les relacions que ja hem vist:

Sabem que:

Ara observa que es verifica:

I segons el Teorema de Pitàgores

Per tant:

Aquesta fórmula es pot expressar també així

i es coneix amb el nom de fórmula fonamental de la trigonometria.

Una altra fórmula que relaciona les raons d'un mateix angle agut és la següent:

I per últim:

EXERCICIS:

· Resolució de triangles rectangles amb angles de 301, 60º o 45º.

- Exemple 1

La hipotenusa d'un triangle mesura 6 cm i un dels angles aguts, 30º. Resol el triangle.

Resolució:

Evidentment si l'angle C mesura 30º, l'angle B mesura 60º, i el A mesura 90º.

Per tant compleix :

- Exemple 2:

Un catet d'un triangle rectangle mesura 5 cm i un dels angles aguts, 45º. Resol el triangle.

Resolució:

Primer hem de veure que quan l'angle és de 45 º, els dos catets són iguals, per tant:

l'angle B = l'angle C i catet c = catet b

Llavors calculem la hipotenusa amb el teorema de Pitàgores i el triangle estarà resolt.

· Raons trigonomètriques d'un angle agut

- Exemple 3

Calcula x i y sabent que:

Resolució:

Es verifica que

multipliquem en creu i obtenim:

I per saber el valor de y, només hem de fer el teorema de Pitàgores:

- Exemple 4

Resolució:

· Relació entre les raons trigonomètriques d'un mateix angle agut.

- Exemple 5

Resolució:

Primer calcularem el cosinus:

Ara que tenim el sinus i el cosinus, podrem calcular la tangent:

- Exemple 6

Resolució

En aquest cas haurem e buscar dos fórmules que relacionin el sinus i el cosinus, és a dir, un sistema:

Resolem el sistema pel mètode de substitució en la segona equació, i després se substitueix l'obtingut en la primera:

Per tant:

· Aplicacions de la trigonometria

- Exemple 7 (trigonometria aplicades a alçades i distàncies)

Volem determinar l'amplada d'un riu i disposem d'un teodolit i d'una cinta mètrica. Como la podem esbrinar?

Resolució

Primer de tot cal explicar que el teodolit es un aparell de precisió que ens permet mesurar angles que estiguin situats tan en un pla vertical com en un pla horitzontal. (Per a més informació visita l'apartat TEODOLIT d'aquesta mateixa pàgina web).

Ens col·loquem en una de les riberes del riu i ens posem davant d'un objecta visible situat a l'altre costat de la riba, com un arbre. Ens desplacem una distància, per exemple de 125 metres i mesurem amb el teodolit l'angle que forma amb l'arbre d'abans.
Dades que obtenim: d = 125 m i angle = 28º.

Per tant, ara només haurem de buscar quina fórmula ens relaciona els dos catets i l'angle en un triangle rectangle: la tangent.

- Exemple 8

Com podríem mesurar l'alçada d'una estàtua a la que no hi podem accedir al peu?

Resolució

Ens situem davant de la estàtua i mesurem l'angle que forma amb la horitzontal amb un teodolit, després ens dirigim uns metres cap a endavant, els mesurem, i tornem a observar l'angle amb el teodolit.

En aquests casos el que haurem de fer es un sistema que comprengui les mesura que volem esbrinar, en aquest cas la x. Per tant, hem de fer un sistema calculant la tangent dels dos angles que hem obtingut:

Ara calculem aïllant la x de la primera equació i substituint-ne el sedultat per la x de la segona equació:

Ara només cal calulcar la x per saber l'alçada de la estàtua